Contenido
Propiedades
de la suma o adición de vectores:
Producto
de un escalar por un vector
Producto
punto o producto escalar
Propiedades
del producto punto o producto escalar:
Producto
punto entre vectores unitarios
Producto
cruz o producto vectorial
Propiedades
del producto cruz o producto vectorial:
Producto
cruz entre vectores unitarios
Contenido
OPERACIONES CON VECTORES
Suma de vectores
Propiedades de la suma o adición de vectores:
1.-
Conmutativa: El orden en
que se sumen los vectores no afecta al vector resultante.
A + B = B + A
2.-
Asociativa: Los vectores
pueden agruparse de cualquier manera.
(A + B) + C = A
+ (B +C)
3.-
Distributiva Vectorial:
Al multiplicar un escalar por una suma de vectores.
m (A +B) = mA +
mB
4.-
Distributiva Escalar:
Al multiplicar la suma de escalares por un vector.
(m +n)A = mA +
nA
Para sumar
vectores existen varios métodos, entre ellos el método gráfico y analítico
El método
gráfico puede ser: método del paralelogramo y del polígono.
Método del Paralelogramo
Este método
sirve para sumar directamente 2 vectores, pero se puede sumar indirectamente
más de 2 vectores. Como el nombre lo indica, se debe formar un paralelogramo
con los vectores dados y sus lados opuestos paralelos a estos.
Ejercicios de suma de vectores por el método del paralelogramo
1.- Dados los
vectores A = 300u; α = 120º; β > 90º y B = 200 u; N70ºE. Hallar R = A+B
Método del Polígono
Este
método sirve para sumar directamente 2 o más vectores, y consiste en graficar
cualquiera de ellos, al final de este se ubica el comienzo del otro, y así uno
a continuación del otro hasta dibujar todos los vectores que van a sumarse;
siendo el vector resultante el que va desde el origen del primero hasta el final
del último.
Un
polígono es la figura geométrica que tiene varios lados.
Ejercicio de suma de vectores por el método del polígono
1.-
Encuentra el resultante de los siguientes vectores:
Como nos damos
cuenta en las gráficas, la suma de vectores cumple la propiedad conmutativa, no
importa en qué orden las sumemos, al final el resultado será el mismo.
Resta de vectores
La resta de 2
vectores no es más que la suma de un vector con el opuesto de otro, es decir:
A – B = A +
(-B)
Vector opuesto
Dado un vector
B, se define el opuesto de B (-B), como el vector del mismo tamaño y dirección
que B, pero con sentido contrario.
Producto de un escalar por un vector
Al multiplicar
un vector por un escalar positivo, únicamente cambia el módulo del vector
manteniendo su dirección y sentido; en cambio la multiplicar por un escalar
negativo mantiene su dirección, pero cambia su módulo y sentido
En el caso que
n > 0, tenemos:
Producto punto o producto escalar
El producto
escalar entre dos vectores nos da como resultado un escalar, y nos dice que es
igual al producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que
forman.
Propiedades del producto punto o producto
escalar:
1.-
Conmutativa: El orden
en que se coloquen los factores no altera al producto.
A.B = B.A
2.- No es Asociativa: Los vectores no pueden agruparse de
cualquier manera, porque cambiaría su respuesta.
A(B.C) ≠ (A.B)C
3.-
Distributiva Vectorial:
El producto punto o escalar de un vector por la suma de dos vectores es igual a
la suma de los productos de dichos vectores.
A.(B + C) = A.B
+ A.C
Producto punto entre vectores unitarios
Por esta razón
el producto punto o escalar de dos vectores paralelos es máximo, y de dos
vectores perpendiculares es nulo.
A continuación,
aplicaremos el producto escalar de dos vectores que se encuentran en forma de
vectores base:
Entre las
aplicaciones de producto escalar podemos mencionar las siguientes:
1.- Encontrar el
ángulo formado por dos vectores
2.- Encontrar la
proyección de un vector sobre otro.
Producto cruz o producto vectorial
El producto
vectorial entre dos vectores es otro vector cuyo módulo es igual al producto de
los módulos de los vectores por el seno del ángulo que forman; su dirección es
perpendicular al plano formado por los vectores, y su sentido se encuentra con
la ley de la mano derecha.
Propiedades del producto cruz o producto
vectorial:
1.- No es Conmutativa: El orden en que se coloquen los
factores altera al producto.
AxB ≠ BxA
2.- No es Asociativa: Los vectores no pueden agruparse de
cualquier manera, porque cambiaría su respuesta.
Ax(BxC) ≠
(AxB)xC
3.-
Distributiva Vectorial:
El producto cruz o vectorial de un vector por la suma de dos vectores es igual
a la suma de los productos de dichos vectores.
Ax(B + C) = AxB
+ AxC
Producto cruz entre vectores unitarios
Tomemos en
cuenta la siguiente gráfica para guiarnos en los signos, tomando en cuenta, que
si la flecha está en sentido antihorario será positivo, pero si está en sentido
horario será negativo.
Por esta razón
el producto cruz o vectorial de dos vectores perpendiculares es máximo (sen 90º
= 1), y de dos vectores paralelos es nulo (sen 0º = 0).
A continuación,
aplicaremos el producto vectorial de dos vectores que se encuentran en forma de
vectores base:
También se puede resolver armando una matriz y resolviendo el determinante:
1.- Encontrar el área de un paralelogramo o triángulo
Como el área de un triángulo siempre será
la mitad del área de un paralelogramo entonces tenemos:
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