FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN TRIANGULOS RECTANGULOS (ejercicios y problemas resueltos teorema cofunciones)

 
Funciones trigonométricas en triángulos rectángulos

Triángulo rectángulo

Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90°.

 

Catetos

Son los lados de un triángulo que forman el ángulo de 90°.

 

Hipotenusa

Es el lado opuesto al ángulo de 90° de un triángulo rectángulo.

Teorema de Pitágoras

Nos dice que el cuadro de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Los lados a y b representan los catetos, y el lado h la hipotenusa.

Ángulo agudo

Es el ángulo mayor a 0° y menor a 90° ( 0°< A < 90°).

 

Ángulos complementarios

Son dos ángulos que sumados dan 90°.

Teorema.- Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, es decir que sumados siempre van a dar 90°

Teorema.- La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo siempre será 180°.

 

Funciones o razones trigonométricas de un triángulo rectángulo

Se definen a partir de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo en relación a sus catetos y, o hipotenusa.

Cada ángulo agudo tiene su respectivo cateto opuesto y adyacente.

Cateto opuesto: será el lado opuesto al ángulo agudo.

Cateto adyacente: es el cateto que ayuda a formar el ángulo agudo.

A continuación, utilizaremos las letras mayúsculas para representar los ángulos, y las letras minúsculas de esos ángulos para representar sus respectivos lados opuestos. En nuestro caso representaremos al ángulo recto (90°) con la letra C.

Teorema de cofunciones

Nos dice que las cofunciones de ángulos complementarios son iguales.

Para saber cuál es la cofunción de una función trigonométrica es muy sencillo, basta con colocar o quitar el prefijo co

 

Función trigonométrica	Cofunción
Seno	Coseno
Tangente	Cotangente
Secante	Cosecante

Ejercicios

Encuentra el lado que falta en los siguientes triángulos rectángulos, y escriba las 6 funciones trigonométricas para cada ángulo agudo. En nuestro caso (C=90°):

   1)    a = 3; b = 4

   2)    c = 13; b = 5

Resolución de triángulos rectángulos

Estrategias de resolución:

Recuerda que al resolver ejercicios de triángulos rectángulos siempre tienes un dato que es el ángulo de 90°; por lo tanto, en los ejercicios existen dos posibilidades:

1.    Un ángulo, y un lado

2.    Dos lados.

 

Un ángulo y un lado, pasos a seguir:

1)    Grafica un triángulo rectángulo que sea lo más coherente a los datos del ejercicio.

2)    Encuentra el otro ángulo agudo restando de 90° el ángulo que ya tienes, ejemplo (90° - A)

3)    Utiliza una función trigonométrica correspondiente. Por ejemplo, si tienes de dato un cateto puedes utilizar: seno, coseno, tangente; pero si tienes de dato la hipotenusa deberás utilizar en un principio seno o coseno.

4)    Para encontrar el último lado podrás aplicar cualquier función trigonométrica o el teorema de Pitágoras.

5)    Finalmente comprueba que tus respuestas sean lógicas: lados grandes, ángulos opuestos grandes, lados pequeños ángulos opuestos pequeños.

 

Dos lados, pasos a seguir:

 

1)    Grafica un triángulo rectángulo que sea lo más coherente a los datos del ejercicio.

2)    Encuentra el lado que falta aplicando el Teorema de Pitágoras.

3)    Utiliza un arco función (sen^-1, cos^-1, tan^-1) para encontrar el ángulo. (En la calculadora presiona la tecla shift + sin, cos, o tan).

4)    Encuentra el otro ángulo agudo restando de 90° el ángulo que ya tienes, ejemplo (90° - A).

5)    Finalmente comprueba que tus respuestas sean lógicas: lados grandes, ángulos opuestos grandes, lados pequeños ángulos opuestos pequeños. 

Ejemplo:

Resuelve un triángulo rectángulo dados:

A = 35°, c = 20

 

Encontramos el ángulo agudo B

B = 90° - 35° = 55°

 

Aplicamos la función trigonométrica seno para encontrar el lado a

Sen 35° = a /20

a = 20 sen 35°

a = 11,47

 

Luego utilizamos la función trigonométrica coseno para encontrar el lado b

Cos 35° = b/20

b = 20 cos 35°

b = 16,38

Problemas de triángulos rectángulos

Recordamos que un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90°, por lo cual sus otros dos ángulos siempre serán agudos y complementarios.

Vale recalcar que las funciones trigonométricas únicamente se pueden utilizar en el tipo de triángulos antes mencionados, en las cuales se relacionan los catetos que pueden ser opuesto o adyacente, y la hipotenusa.

Ángulo de elevación

Es el ángulo formado por la horizontal que pasa por el ojo del observador y la visual que se encuentra por encima de dicho horizontal.

Ángulo de depresión

Es el ángulo formado por la horizontal que pasa por el ojo del observador y la visual que se encuentra por debajo de dicho horizontal.

Estrategias de resolución:

Se debe realizar una gráfica que represente los datos del problema.

A continuación, debe aplicar una de las 3 funciones trigonométricas principales que son seno, coseno y tangente, con el propósito de encontrar la incógnita del problema.

Ejemplo:

Una escalera de 30 m de largo está apoyada sobre la pared de un edificio, estando su base a 15m de la base del mismo. ¿Qué ángulo forma la escalera con el piso?

Podemos apreciar que la longitud horizontal de 15 m representaría el cateto adyacente para el ángulo que forma la escalera con el piso, y que la longitud de la escalera sería la hipotenusa, por lo tanto, utilizaremos la función trigonométrica coseno que es la que relaciona el cateto adyacente con la hipotenusa.

 

Cos A = 15/30

A = cos^-1 (0,5)

A = 30°